1. 什么是有效數字呢？

⑴有效數字是指在分析和測量中所能得到的有實際意義的數字。測量結果是由有效數字組成的（前后定位用的“0”除外）。

例如 測量結果1.1080g，組成數字1、1、0、8、0都是實際測讀到的，它們是表示試樣質量大小的，因而都是有實際意義的。

⑵有效數字的前幾位都是準確數字，只有最后一位是可疑數字。

例如前述的1.1080， 前幾位數字1、1、0、8都是稱量讀到的準確數字，而最后一位數字0則是在沒有刻度的情況下估讀出來的，是不準確的或者說可疑的。

⑶有效數字是處于表示測量結果的數值的不同數位上。所有有效數字所占有的數位個數稱為有效數字位數。

例如 數值3.5，有兩個有效數字，占有個位、十分位兩個數位，因而有效數字位數為兩位；3.501有四個有效數字，占有個位、十分位、百分位等四個數位，因而是四位有效數字。

⑷測量結果的數字，其有效位數反映了測量結果的精確度，它直接與測量的精密度有關。這也是有效數字實際意義的體現，是非常重要的體現。

例如 前述例子中，若測量結果為1.1080g，則表示測量值的誤差在10^-4量級上，天平的精度為萬分之一；若測量結果為1.108g，則表示測量值的誤差在10^-3量級上，天平的精度為千分之一。

2、有效數字位數的確定原則

在確定有效數字位數時應遵循下列原則：

⑴數值中數字1～9都是有效數字。

⑵數字“0”在數值中所處的位置不同，起的作用也不同，可能是有效數字，也可能不是有效數字。判定如下：

① “0”在數字前，僅起定位作用，不是有效數字。

例如 0.0257中， “2”前面的兩個“0”均非有效數字。 0.123、0.0123、0.00123中“1”前面的 “0”也均非有效數字。

②數值末尾的“0”屬于有效數字。

例如 0.5000中， “5”后面的三個“0”均為有效數字；0.50中， “5”后面的一個“0”也是有效數字。

③數值中夾在數字中間的“0”是有效數字。

 例如 數值1. 008中的兩個“0”是均是有效數字；數值8. 01中間的 “0”也是有效數字。

④以“0”結尾的正整數， “0”是不是有效數字不確定，應根據測試結果的準確度確定。

例如 3600，后面的兩個“0”如果不指明測量準確度就不能確定是不是有效數字。測量中遇到這種情況，最好根據實際測試結果的精確度確定有效數字的位數，有效數字用小數表示，把“0”用10的乘方表示。如將3600寫成3.6×103表示此數有兩位有效數字；寫成3.60×103表示此數有三位有效數字；寫成3.600×103表示此數有四位有效數字。

3.修約間隔

修約間隔又稱修約區間或化整間隔，系確定修約保留位數的一種方式。修約間隔一般以k×10n（k=1，2，5；n為整數）的形式表示，將同一k值的修約間隔，簡稱為“k”間隔。

修約間隔的數值一經確定，修約值即應為該數值的整數倍。

例如 指定修約間隔為0.1，修約值即應在0.1的整數倍中選取，相當于將數值修約到一位小數。

•    1.0239修約到0.01，為1.02，

•    1.02÷0.01=102（倍）

4.修約數位及確定修約位數的表達方式

修約時擬將擬修約數的哪一位數位后部分按修約規則舍去，則該數位就是修約數位。

數值修約時需要先明確修約數位，確定修約位數的表達方式如下：

⑴指明具體的修約間隔。如指明將某數按0.2（2×10^-1）修約間隔修約、100 （1×10²）修約間隔修約等。

⑵指定將擬修約數修約至某數位的0.1、0.2或0.5個單位。

⑶指明“k”按間隔將擬修約數修約為幾位有效數字，或修約至某數位。這時“1” 間隔可不必指明，但“2”間隔和“5”間隔必須指明。

1、GB/T 8170-2008 《數值修約規則》

⑴擬舍棄數字的最左一位數字小于5時，則舍去，即保留的各位數字不變。

例如 將12.1498修約到一位小數，得12.1。

例如 將12.1498修約成兩位有效位數，得12。

⑵擬舍棄數字的最左一位數字大于5；或者是5，而其后跟有并非全部為0的數字時，則進一，即保留的末位數字加1。

例如 將1268修約到“百”數位，得13×10²（特定時可寫為1300）。

例如 將1268修約成三位有效位數，得127×10（特定時可寫為1270）。

例如 將10.502修約到個數位，得11。

注：“特定時”的涵義系指修約間隔或有效位數明確時。

⑶擬舍棄數字的最左一位數字為5，而右面無數字或皆為0時，若所保留的末位數字為奇數(1,3,5,7,9）則進一，為偶數（2,4,6,8,0）則舍棄。

⑷負數修約時，先將它的絕對值按上述⑴⑵⑶規定進行修約，然后在修約值前面加上負號。

⑸ 0.5單位修約與0.2單位修約

① 0.5單位修約 既將擬修約數乘以2，按指定數位依3.1-3.4規則修約，所得數再除以2。

② 0.2單位修約 既將擬修約數乘以5，按指定數位依3.1-3.4規則修約，所得數值再除以5。

2.通用數值修約方法

⑴如果為修約間隔整數培的一系列數中，只有一個數最接近于擬修約數，則該數就是修約數。

例如 將1.150001按0.1修約間隔進行修約。此時，與擬修約數1.150001鄰近的為修約間隔整數倍的數有1.1和1.2（分別為修約間隔的11倍和12倍），然而只有1.2最接近于擬修約數，因此1.2就是修約數。

⑵如果為修約間隔整數培的一系列數中，有連續兩個數同等接近于擬修約數，則這兩個數中，為修約間隔偶數培的數就是修約數。

例如，將1150按100修約間隔行修約。此時，與擬修約數1150鄰近的為修約間隔整數倍的數有1100和1200（分別為修約間隔的11倍和12倍），這兩個數同等接近于擬修約數，然而1200為修約間隔的偶數培（12倍），因此1200 就是修約數。

⑶一個數據的修約只能進行一次，不能分次修約。

1.加減運算

幾個數相加減的結果，經修約后保留有效數字的位數，取決于絕對誤差最大的數值，計算結果應以絕對誤差最大（即小數點后位數最少）的數據為基準，來決定計算結果數據的位數。

在實際運算過程中，各數值保留的位數比各數值中小數點后位數最少者多保留一位小數，而計算結果有效數字的位數應與效數最少的一數相同。

例如      29.2+36.582-3.0281=62.8

2.乘除運算

幾個數據的乘除運算以相對誤差最大（即有效數字位數最少）的數值為基準來決定結果數據的位數。

在實際運算中，先將各數值修約至比有效數字位數最少者多保留一位有效數字運算，計算結果的有效數字的位數與有效數字位數最少的數值相同。（與小數點位置無關）

例如，  0.235438×28.6×61.8911

         ≈0.2354×28.6×61.89

         =414.6707116

    三個參與運算的數值的有效數字位數分別為六位、三位、六位，所以最終計算結果用三位有效數字表示，為415或4.15×102。

3.乘方和開方

乘方或開方時，原數值有幾位有效數字，計算結果就可以保留幾位有效數字。若計算結果還要參與運算，則乘方或開方所得結果可比原數值多保留一位有效數字。

例如：3.58²=12.8614，運算結果保留三位有效數字，為12.9。

4.對數運算

在數值對數計算時，所取對數的小數點后的位數（不包括首數）應與真數的有效數字位數相同。換言之，對數有效數字的位數，只計小數點以后的數字的位數，而不計對數的整數部分。

例如：log（100.44）

       = log（1.0044×10²）

       = 2.0019067…。

最后結果應為2.00191，結果的有效數字位數是五位（小數后位數）而不是六位（整數位數加小數位數），因整數部分只說明該數的10的方次。

5.平均值

計算幾個數值的平均值時，先將計算結果修約至比要求的位數多一位，再按數值修約規則處理。

6.方差和標準偏差

方差和標準偏差在運算過程中對中間結果不做修約，只將最后結果修約至要求的位數。

注意：

⑴在所有計算式中，常數（π、e等）以及非檢測所得的計算因子（倍數或分數等）的有效數字位數，可視為無限，需要幾位就取幾位。

⑵使用計算器（或電腦）進行計算時，一般不對中間每一步驟的計算結果進行修約，僅對最后的結果進行修約，使其符合事先所確定的位數。

數值修約你學會了嗎？