大多數(shù)金屬都不是純彈性或純塑性材料，在冷卻過(guò)程中往往會(huì)發(fā)生塑性至彈性的轉(zhuǎn)變。以鑄鐵為例，這個(gè)塑性-彈性轉(zhuǎn)變溫度區(qū)間為700-400℃。

    現(xiàn)以厚薄不均勻的T型梁（圖2-1）為例來(lái)討論殘余應(yīng)力的形成過(guò)程。T型梁鑄件由較厚的桿Ⅰ和較薄的桿Ⅱ組成。為了簡(jiǎn)化分析，需作以下假設(shè)：

    1.兩桿有同一溫度 tn 開(kāi)始冷卻，最后冷卻至同一溫度t0

     2.合金的塑——彈性轉(zhuǎn)變是在一個(gè)臨界溫度tk下發(fā)生的。高于tk合金處于塑性狀態(tài)；低于tk合金處于彈性狀態(tài)；

    3.冷卻過(guò)程中不發(fā)生相變，鑄件的收縮不受鑄型阻礙；

    4.材料的線(xiàn)膨脹系數(shù)α和彈性模量為一常數(shù)，不隨溫度變化；

    5.桿Ⅰ和.桿Ⅱ之間無(wú)熱交換

    圖2-1a示出桿Ⅰ和桿Ⅱ的冷卻曲線(xiàn)（t--τ）。開(kāi)始冷卻時(shí)兩桿溫度均為tH，冷卻至最后的溫度均為t0.由于桿Ⅱ比桿Ⅰ薄。故開(kāi)始冷卻時(shí)桿Ⅱ比桿Ⅰ冷卻快；后期，桿Ⅰ的冷卻速度比桿Ⅱ快。

   由于假定線(xiàn)膨脹（收縮）系數(shù)為一常數(shù)，故鑄件在各個(gè)溫度時(shí)的自由收縮量ξ與溫度成正比，線(xiàn)收縮曲線(xiàn)（ξ——τ）在外形上與冷卻曲線(xiàn)（t--τ）一致（圖3-1b）.虛線(xiàn)C0C3是兩桿聯(lián)在一起時(shí)實(shí)際的（即T型梁鑄件的）線(xiàn)收縮曲線(xiàn)。

如果T型梁鑄件在應(yīng)力作用下不產(chǎn)生彎曲變形，則兩桿中的殘余熱應(yīng)力與所產(chǎn)生的彈性變形（）有關(guān)。以σⅠ、σⅡ表示桿Ⅰ和桿Ⅱ的應(yīng)力；F1和F2表示兩桿的截面積，則
桿Ⅰ所受拉力為PⅠ=σⅠF1
桿Ⅱ所受拉力為PⅡ=σⅡFⅡ
由桿系中各力平衡∑p=0，有σⅠF1=σⅡFⅡ（1-1）

假設(shè)材料在拉伸和壓縮時(shí)彈性模量相等，其值為E,則根據(jù)虎克定律：σⅠ=EξⅠ   σⅡ=EξⅡ

由圖1-3可知，兩桿長(zhǎng)度的差值a3b3=ξⅠξⅡ，其值與桿Ⅰ溫度為tk時(shí)兩桿的溫度差（tⅠ -tⅡ）稱(chēng)正比，即ξ1ξ1Ⅰ=a•（tⅠ -tⅡ）

或σⅠσⅡ=E•a•（tⅠ -tⅡ）   （1-2）   或式（1-2）與 式（1-3） 聯(lián)立，可得：

桿Ⅰ的拉應(yīng)力：σⅠ=FⅡE•a•（tⅠ -tⅡ）/（FⅠ+FⅡ） （1-3）

桿Ⅱ的拉應(yīng)力：σⅡ=FⅠE•a•（tⅠ -tⅡ）/（FⅠ+FⅡ） （1-4）

由式（1-4）可以看出，鑄造應(yīng)力與粗、細(xì)桿的面積，材料的線(xiàn)膨脹系數(shù)和粗桿到塑—彈性轉(zhuǎn)變溫度時(shí)粗細(xì)桿的溫度有關(guān)。

由上所述，可以知道鑄件熱應(yīng)力的形機(jī)理：在金屬冷卻過(guò)程中，由塑性狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閺椥誀顟B(tài)時(shí)，壁厚不同的部分進(jìn)入彈性狀態(tài)的先后不同，產(chǎn)生了不均勻的塑性變形。當(dāng)鑄件厚壁均為彈性狀態(tài)時(shí)，這個(gè)塑性變形差值需要靠產(chǎn)生的彈性變形來(lái)補(bǔ)償，這樣就使鑄件的不同部位上產(chǎn)生了符號(hào)、大小不同的殘余應(yīng)力。在高于或低于這個(gè)溫度區(qū)間內(nèi)，冷卻速度對(duì)殘余應(yīng)力實(shí)際上沒(méi)有影響。